Методы выявления основной тенденции (тренда) в рядах динамики

Одна из главных задач исследования рядов динамики – выявить основную тенденцию (закономерность) в изменении уровней ряда, называемую трендом. Закономерность в изменении уровней ряда в одних случаях проявляется наглядно, в других – может маскироваться колебаниями случайного либо неслучайного нрава. Потому, чтоб сделать правильные выводы о закономерностях развития того либо другого показателя, нужно суметь отделить тренд Методы выявления основной тенденции (тренда) в рядах динамики от колебаний, вызванных случайными краткосрочными причинами. На основании выделенного тренда можно экстраполировать (предсказывать) развитие явления в дальнейшем. С этой целью (убрать колебания, вызванные случайными причинами) ряды динамики подвергают обработке.

Существует несколько способов обработки рядов динамики, помогающих выявить основную тенденцию конфигурации уровней ряда, а конкретно: способ укрупнения интервалов, способ скользящей Методы выявления основной тенденции (тренда) в рядах динамики средней и аналитическое выравнивание. Во всех способах заместо фактических уровней при обработке ряда рассчитываются другие (расчетные) уровни, в каких тем либо другим методом взаимопогашается действие случайных причин и тем миниатюризируется колеблемость уровней. Последние в итоге становятся вроде бы «выравненными», «сглаженными» по отношению к начальным фактическим данным. Такие способы обработки Методы выявления основной тенденции (тренда) в рядах динамики рядов динамики именуются сглаживанием либо выравниванием рядов динамики.

Простой способ сглаживания уровней ряда – укрупнения интервалов, для определяется итоговое значение либо средняя величина исследуемого показателя. Этот способ в особенности эффективен, если начальные уровни ряда относятся к маленьким промежуткам времени. К примеру, если имеются данные о ежесуточном производстве мороженого на Методы выявления основной тенденции (тренда) в рядах динамики предприятии в месяц, то, естественно, в таком ряду вероятны значимые колебания уровней, потому что чем меньше период, за который приводятся данные, тем больше воздействие случайных причин. Чтоб убрать это воздействие, рекомендуется укрупнить интервалы времени, к примеру до 5 либо 10 дней, и для этих укрупненных интервалов высчитать общий либо среднесуточный объем Методы выявления основной тенденции (тренда) в рядах динамики производства (соответственно по пятидневкам либо декадам). В ряду с укрупненными интервалами времени закономерность конфигурации уровней будет более приятной.

По собственной сущности способ скользящей средней похож на способ укрупнения интервалов, но в этом случае фактические уровни заменяются средними уровнями, рассчитанными для поочередно подвижных (скользящих) укрупненных интервалов, обхватывающих m уровней ряда. К Методы выявления основной тенденции (тренда) в рядах динамики примеру, если принять m=3, то поначалу рассчитывается средняя величина из первых 3-х уровней, потом находится средняя величина из 2-го, 3-го и 4-го уровней, позже из 3-го, 4-го и 5-го и т.д., т.е. всякий раз в сумме 3-х уровней возникает новый уровень, а два остаются прежними Методы выявления основной тенденции (тренда) в рядах динамики, что и обусловливает взаимопогашение случайных колебаний в средних уровнях. Рассчитанные из m членов скользящие средние относятся к середине (центру) каждого рассматриваемого интервала.

Сглаживание способом скользящей средней можно проводить по хоть какому числу членов m, но удобнее, если m – нечетное число, потому что в данном случае скользящая средняя сходу относится к Методы выявления основной тенденции (тренда) в рядах динамики определенной временнОй точке – середине (центру) интервала. Если же m – четное, то скользящая средняя относится к промежутку меж временнЫми точками: к примеру, при сглаживании по четырем членам (m=4) средняя из первых 4 уровней будет находиться меж 2-ой и третьей временной точкой, последующая – меж третьей и четвертой и т.д. Тогда, чтоб сглаженные Методы выявления основной тенденции (тренда) в рядах динамики уровни относились конкретно к определенным временнЫм точкам, из каждой пары смежных промежных значений скользящих средних находят среднюю арифметическую, которую относят к временной точке, находящейся меж смежными. Таковой прием двойного расчета сглаженных уровней именуется центрированием.

Недочетом способа скользящей средней будет то, что сглаженный ряд укорачивается по сопоставлению с Методы выявления основной тенденции (тренда) в рядах динамики фактическим с 2-ух концов: при нечетном m на (m-1)/2, а при четном m – на m/2 с каждого конца. Применяя этот способ, нужно держать в голове, что он сглаживает (избавляет) только случайные колебания. Если же, к примеру, ряд содержит сезонную волну (см. 6.6), она сохранится и после сглаживания способом скользящей средней Методы выявления основной тенденции (тренда) в рядах динамики. Не считая того, этот способ сглаживания, как и способ укрупнения интервалов не позволяет выражать общую тенденцию конфигурации уровней в виде математической модели.

Более совершенным способом обработки рядов динамики в целях устранения случайных колебаний и выявления тренда является выравнивание уровней ряда по аналитическим формулам (либо аналитическое выравнивание). Сущность аналитического выравнивания Методы выявления основной тенденции (тренда) в рядах динамики заключается в подмене эмпирических (фактических, начальных) уровней yi теоретическими , которые рассчитаны по определенному уравнению, принятому за математическую модель тренда, где теоретические уровни рассматриваются как функция времени: = f(t).

При всем этом каждый фактический уровень yi рассматривается обычно как сумма 2-ух составляющих:

, (64)

где f(t) = ­ ­- периодическая составляющая, отражающая тренд и выраженная Методы выявления основной тенденции (тренда) в рядах динамики определенным уравнением; - случайная величина, вызывающая колебания уровней вокруг тренда.

Задачка аналитического выравнивания сводится к последующему:

1) определение на базе фактических данных формы (вида) гипотетичной функции = f(t), способной более правильно отразить тенденцию развития исследуемого показателя;

2) нахождение по эмпирическим данным характеристик обозначенной функции (уравнения);

3) расчет по отысканному уравнению теоретических (выравненных Методы выявления основной тенденции (тренда) в рядах динамики) уровней.

В аналитическом выравнивании более нередко употребляются простые функции, выставленные в табл. 15, где обозначено - теоретические (выравненные) уровни (читается как «игрек, выравненный по t»); t – условное обозначение времени (1, 2, 3 …); a0, a1, a2, ... – характеристики аналитической функции; k – число гармоник (при выравнивании по ряду Фурье).

Выбор той либо другой функции для выравнивания Методы выявления основной тенденции (тренда) в рядах динамики ряда динамики осуществляется на основании графического изображения эмпирических данных. Если по тем либо другим причинам уровни эмпирического ряда тяжело обрисовать одной функцией, следует разбить анализируемый период на отдельные части и потом выровнять каждую часть по соответственной кривой.

Таблица 15. Виды математических функций, применяемые при выравнивании

Заглавие функции Вид функции Формула
Ровная линия (65)
Парабола 2-го Методы выявления основной тенденции (тренда) в рядах динамики порядка либо (66)
Парабола 3-го порядка (67)
Гипербола (68)
Показательная (69)
Степенная (70)
Ряд Фурье (71)

Часто один и тот же ряд можно выровнять по различным аналитическим функциям и получить достаточно близкие результаты. В нашем примере про ВО Рф можно произвести выравнивание и по прямой полосы, и по параболе. Чтоб решить вопрос о Методы выявления основной тенденции (тренда) в рядах динамики том, внедрение какой кривой дает наилучший итог, обычно сопоставляют суммы квадратов отклонений эмпирических уровней от теоретических (остатки), рассчитанным по различным функциям, другими словами:

. (72)

Та функция, при которой эта сумма мала, считается более адекватной, применимой. Но ассоциировать конкретно суммы квадратов отклонений можно в этом случае, если сравниваемые уравнения имеют однообразное число Методы выявления основной тенденции (тренда) в рядах динамики характеристик. Если же число характеристик k различное, то каждую сумму квадратов делят на разность (n – k), выступающую в роли числа степеней свободы, и ассоциируют уже квадраты отклонений уровней, рассчитанные на одну степень свободы (т.е. остаточные дисперсии на одну степень свободы).

Характеристики разыскиваемых уравнений (a0, a1, a2, ...) при аналитическом Методы выявления основной тенденции (тренда) в рядах динамики выравнивании могут быть определены по-разному, но более всераспространенным способом является способ меньших квадратов (МНК). При всем этом способе учитываются все эмпирические уровни и должна обеспечиваться малая сумма квадратов отклонений эмпирических значений уровней y от теоретических уровней :

. (73)

А именно, при выравнивании по прямой вида (65) характеристики и отыскиваются по МНК последующим Методы выявления основной тенденции (тренда) в рядах динамики образом. В формуле (73) заместо записываем его конкретное выражение . Тогда . Предстоящее решение сводится к задачке на экстремум, т.е. к определению того, при каком значении и функция 2-ух переменных S может добиться минимума. Как понятно, для этого нужно отыскать личные производные S по и , приравнять их к нулю и Методы выявления основной тенденции (тренда) в рядах динамики после простых преобразований решить систему 2-ух уравнений с 2-мя неведомыми.

В согласовании с вышеизложенным найдем личные производные:

Сократив каждое уравнение на 2, раскрыв скобки и перенеся члены с y в правую сторону, а другие – оставив в левой, получим систему обычных уравнений:

(74)

где n – количество уровней ряда; t – порядковый номер в условном Методы выявления основной тенденции (тренда) в рядах динамики обозначении периода либо момента времени; y – уровни эмпирического ряда.

Эта система и, соответственно, расчет характеристик и упрощаются, если отсчет времени ведется от середины ряда[18]. К примеру, при нечетном числе уровней (как в нашем примере про ВО Рф – 7 уровней) серединная точка времени (год, месяц) принимается за нуль Методы выявления основной тенденции (тренда) в рядах динамики, тогда предыдущие периоды обозначаются соответственно –1, –2, –3 и т.д., а последующие за средним (центральным) – соответственно 1, 2, 3 и т.д. (см. 3-й столбец табл. 16). При четном числе уровней два серединных момента (периода) времени обозначают –1 и +1, а все следующие и прошлые, соответственно, через два интервала: , , и т.д.

При таком порядке отсчета времени (от Методы выявления основной тенденции (тренда) в рядах динамики середины ряда) = 0, потому, система обычных уравнений (74) упрощается до последующих 2-ух уравнений, каждое из которых решается без помощи других:

(75)

Как лицезреем, при таковой нумерации периодов параметр представляет собой средний уровень равномерного интервального ряда, другими словами формулу (56). Определим по формуле (75) характеристики уравнения прямой для нашего примера про ВО Рф, зачем начальные данные и Методы выявления основной тенденции (тренда) в рядах динамики все расчеты нужных сумм представим в табл. 16.

Таблица 16. Вспомогательные расчеты для линейного тренда

Год y t t2 yt
149,9 -3 -449,7 97,557 2739,775 25636,584 11614,681
155,6 -2 -311,2 150,929 21,822 11394,038 10418,577
168,3 -1 -168,3 204,300 1296,000 2848,509 7987,252
257,671 2085,879 0,000 2085,879
280,6 280,6 311,043 926,768 2848,509 525,719
368,9 737,8 364,414 20,122 11394,038 12371,795
468,4 1405,2 417,786 2561,806 25636,584 44406,531
Итого 1803,7 1494,4 1803,700 9652,171 79758,263 89410,434

Из табл. 16 получаем, что: a0 = 1803,7/7 = 257,671 и a1 = 1494,4/28 = 53,371. Отсюда разыскиваемое уравнение тренда: =257,671+53,371t. В 6-м столбце табл. 16 приведены теоретические (трендовые) уровни, рассчитанные по этому уравнению, а в конечном итоге 7-го Методы выявления основной тенденции (тренда) в рядах динамики столбца – остатки по формуле (72). Для иллюстрации построим график эмпирических и трендовых уровней – рис. 6.

Рис. 6. Эмпирические и трендовые уровни ряда динамики ВО Рф


metodicheskaya-razrabotka-dlya-studentov-dlya-prakticheskogo-zanyatiya-31.html
metodicheskaya-razrabotka-dmitrieva-igorya-aleksandrovicha.html
metodicheskaya-razrabotka-k-teme-2.html